2. Der Antrag nach § 80 Abs. 5 VwGO auf Anordnung der aufschiebenden Wirkung der Klage vom 27. April 2007 ist unzulässig. Beantragt ein Ausländer die Verlängerung seines Aufenthaltstitels oder die Erteilung eines anderen Aufenthaltstitels, gilt zwar der bisherige Aufenthaltstitel gemäß § 81 Abs. 4 AufenthG vom Zeitpunkt seines Ablaufs bis zur Entscheidung der Ausländerbehörde als fortbestehend. Gegen den Verlust der mit der Antragsablehnung durch die Ausländerbehörde beendeten verfahrensrechtlichen Fiktion kann der Ausländer vorläufigen Rechtsschutz nach § 80 Abs. 5 VwGO in Anspruch nehmen (vgl. Renner, Ausländerrecht, 8. Aufl. 2005, § 81 Rn. 33).
Eine fiktive Fortgeltung der Aufenthaltserlaubnis bis zur Entscheidung des Antragsgegners war hier jedoch nicht gegeben, da der Antragsteller seinen Antrag auf Erteilung eines Aufenthaltstitels zum Zweck der Arbeitsaufnahme in der Praxis für Allgemeinmedizin des Dr. med. L. erst am 9. November 2006 gestellt hat. Die ihm zuvor erteilte Aufenthaltserlaubnis zur Suche eines seinem Studienabschluss angemessenen Arbeitsplatzes (§ 16 Abs. 4 AufenthG) war jedoch mit Ablauf ihrer Geltungsdauer am 29. August 2006 gemäß § 51 Abs. 1 Nr. 1 AufenthG bereits erloschen. Die fiktive Fortgeltung des Aufenthaltstitels nach § 81 Abs. 4 AufenthG setzt grundsätzlich einen vor Ablauf der Geltungsdauer des Titels gestellten Verlängerungsantrag voraus. Ein verspäteter Antrag kann die Fortgeltungsfiktion nicht auslösen (Renner, a.a.O. Rn. 18; Hailbronner, Ausländerrecht, Stand Mai 2007, § 81 Rn. 25 ff.; Funke-Kaiser, in: GK-AufentG, Stand Juni 2007, § 81 Rn. 43). Ob ein Antrag, der so geringfügig verspätet ist, dass ein innerer Zusammenhang zwischen dem Ablauf der Geltungsdauer des Titels und dem Verlängerungs- bzw. Erteilungsantrag bei Änderung des Aufenthaltszwecks gewahrt ist, die Fortbestehensfiktion gleichfalls noch auslösen kann (so OVG NRW, Beschluss vom 23. März 2006 - 18 B 120.06 - InfAuslR 2006, 448 bei einer Säumnis von wenigen Tagen; bestätigt mit Beschluss vom 6. Juli 2007 - 18 B 2184.06 - juris), kann hier offen bleiben. Im Fall des Antragstellers lagen zwischen dem Erlöschen seiner Aufenthaltserlaubnis und seinem Antrag auf Neuerteilung mehr als zwei Monate, so dass keine geringfügige Verspätung mehr vorliegt (vgl. BayVGH, Beschluss vom 5. März 2007 - 24 CS 07.207 - juris Rn 14).
§ 81 Abs. 3 Satz 1 AufenthG mit der Folge einer Erlaubnisfiktion kommt im Fall des Antragstellers schon deshalb nicht zur Anwendung, weil sein Aufenthalt im Bundesgebiet nach dem 29. August 2006 nicht mehr rechtmäßig war. Etwas anderes ergibt sich nicht aus den vom Antragsgegner erteilten Fiktionsbescheinigungen (§ 81 Abs. 5 AufenthG), denen lediglich deklaratorische Wirkung zukommt.
4. Das Rechtsschutzbegehren ist als Antrag auf Erlass einer einstweiligen Anordnung zulässig, aber unbegründet.
Der Antragsteller hat einen Anordnungsanspruch nicht glaubhaft gemacht (§ 123 Abs. 1 und 3 VwGO in Verbindung mit § 920 Abs. 2 ZPO).
Gemäß § 60a Abs. 2 AufenthG ist die Abschiebung eines Ausländers auszusetzen, solange die Abschiebung aus tatsächlichen oder rechtlichen Gründen unmöglich ist. Diese Voraussetzungen liegen hier nicht vor. Gründe für eine tatsächliche Unmöglichkeit der Abschiebung sind weder dargelegt noch sonst ersichtlich. Die Abschiebung des Antragstellers ist auch nicht etwa deswegen rechtlich unmöglich, weil er einen Rechtsanspruch auf Erteilung eines Aufenthaltstitels hätte.
Als Anspruchsgrundlage hierfür kommt nur § 18 Abs. 2 Satz 1 AufenthG in Betracht. Allerdings orientiert sich die Zulassung ausländischer Beschäftigter an den Erfordernissen des Wirtschaftsstandortes Deutschland unter Berücksichtigung der Verhältnisse auf dem Arbeitsmarkt und dem Erfordernis, die Arbeitslosigkeit wirksam zu bekämpfen (§ 18 Abs. 1 AufenthG). Dieses relativ weite Ermessen des Antragsgegners ist hier unter keinem erkennbaren rechtlichen oder tatsächlichen Gesichtspunkt derart reduziert, dass ein Rechtsanspruch des Antragstellers auf Erteilung eines Aufenthaltstitels zur Ausübung einer Beschäftigung besteht. Ein besonderes öffentliches Interesse an der Beschäftigung des 39-jährigen Antragstellers, der seine Ausbildung erst weit nach Überschreiten der Regelstudienzeit mit nur ausreichendem Ergebnis abgeschlossen hat, in der Bundesrepublik Deutschland besteht nicht. Die privaten Interessen des Antragstellers wurden in der Vergangenheit berücksichtigt, indem der Antragsgegner das ihm in § 16 Abs. 4 AufenthG eingeräumte Ermessen dahin ausgeübt hat, dass dem Antragsteller eine Aufenthaltserlaubnis zur Arbeitsplatzsuche erteilt worden war. Die im Gesetz genannte Frist "bis zu einem Jahr" hat der Antragsgegner zugunsten des Antragstellers voll ausgeschöpft. Der Antragsteller konnte dennoch diese Zeit nicht nutzen, um einen seinem Studienabschluss angemessenen Arbeitsplatz zu finden.
Dies folgt unabhängig von den Gründen für die Versagung der Zustimmung der Bundesagentur für Arbeit schon daraus, dass es hier im maßgeblichen Zeitpunkt der gerichtlichen Entscheidung bereits an einem konkreten Arbeitsangebot fehlt, für das der beantragte Aufenthaltstitel überhaupt erteilt werden könnte.