Der zulässige Antrag hat in der Sache keinen Erfolg.
1. An der Richtigkeit des Urteils des Verwaltungsgerichts Würzburg vom 29. September 2006 bestehen keine ernstlichen Zweifel (§ 124 Abs. 2 Nr. 1 VwGO).
a) Nach § 25 Abs. 4 Satz 1 AufenthG kann einem Ausländer eine Aufenthaltserlaubnis erteilt werden, so lange dringende humanitäre oder persönliche Gründe oder erhebliche öffentliche Interessen seine vorübergehende weitere Anwesenheit im Bundesgebiet erfordern. Die Vorschrift setzt voraus, dass es sich um einen zeitlich begrenzten – vorübergehenden – Aufenthalt handelt. Zwar sieht die Regelung für die Annahme eines solchen Aufenthalts keine festen Fristen vor. Dass lediglich ein temporärer Aufenthalt für einen vorübergehenden Zweck von § 25 Abs. 4 Satz 1 AufenthG erfasst werden soll, zeigt jedoch ein Blick auf die in der Gesetzesbegründung (BT-Drs. 15/420, S. 79 f.) beispielhaft erwähnten Fallkonstellationen der Durchführung einer Operation, die im Herkunftsland nicht gewährleistet ist, oder der vorübergehenden Betreuung eines schwerkranken Familienangehörigen oder des Abschlusses einer Schul- oder Berufsausbildung. Wird dagegen ein Daueraufenthalt bzw. ein zeitlich nicht absehbarer Aufenthalt im Bundesgebiet angestrebt, kann eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25 Abs. 4 Satz 1 AufenthG nicht beansprucht werden (vgl. näher OVG Lüneburg, B. v. 27.6.2005, NVwZ-RR 2006, 572 [573 f.] m.w.N.).
Vorliegend hat das Verwaltungsgericht Würzburg unter Bezugnahme auf das Attest der behandelnden Ärztin Dr. ... vom 12. September 2006 festgestellt, dass eine Heilung oder deutliche Besserung des Gesundheitszustandes der Klägerin erst nach einer monatelangen Behandlung eintreten werde und der Therapieerfolg völlig unabsehbar sei. Eine Prognose in Bezug auf eine mögliche Beendigung des Aufenthalts der Klägerin im Bundesgebiet sei daher aus medizinischer Sicht nicht möglich. Damit lag zum Zeitpunkt der Entscheidung des Verwaltungsgerichts Würzburg am 29. September 2006 auf der Hand, dass die Klägerin einen zeitlich nicht absehbaren (Dauer-) Aufenthalt anstrebt und die Tatbestandsvoraussetzungen des § 25 Abs. 4 Satz 1 AufenthG nicht erfüllt sind.
b) Ebenso wenig hat die Klägerin Anspruch auf Erteilung eines Aufenthaltstitels nach § 25 Abs. 5 AufenthG.
Nach § 25 Abs. 5 Satz 1 AufenthG darf eine Aufenthaltserlaubnis nur dann erteilt werden, wenn der Ausländer unverschuldet an der Ausreise gehindert ist (§ 25 Abs. 5 Satz 3 AufenthG). Ein Verschulden des Ausländers liegt insbesondere dann vor, wenn er zumutbare Anforderungen zur Beseitigung der Ausreisehindernisse nicht erfüllt (vgl. § 25 Abs. 5 Satz 4, 3. Alt. AufenthG).
Vorliegend hat das Verwaltungsgericht Würzburg in seiner Entscheidung vom 29. September 2006 mit Recht festgestellt, dass die Klägerin und ihre Eltern ihrer Mitwirkungs- und Initiativpflicht (siehe hierzu näher BayVGH, B. v. 19.12.2005 - 24 C 05.2856 -, BayVBl 2006, 436 [437]) in vorwerfbarer Weise nicht gerecht geworden sind, weil sie gegenüber den türkischen Behörden auf der Erteilung von Reisepässen bestehen und sich kategorisch weigern, Anträge auf Erteilung von Heimreisescheinen zu stellen.