1. Der Hauptantrag ist zulässig, aber unbegründet.
(a) Die Voraussetzungen der zunächst in Betracht kommenden Rechtsgrundlage des § 31 Abs. 4 Satz 2 AufenthG für das eigenständige Aufenthaltsrecht des Ehegatten sind nicht gegeben.
Die Verlängerung der Aufenthaltserlaubnis des Ehegatten nach § 31 Abs. 4 Satz 2 AufenthG setzt das Vorliegen der Regelerteilungsvoraussetzungen des § 5 Abs. 1 AufenthG voraus (OVG Berlin, Beschluss vom 3.3.2005 - 8 S 8.05 -, Juris; VG Frankfurt, Urteil vom 30.11.2005 - 1 E 5312/04 -, Juris; VG Osnabrück, Urteil vom 31.5.2006 - 5 A 28/06 -, Juris).
Gemäß § 5 Abs. 1 Nr. 1 AufenthG muss danach in der Regel der Lebensunterhalt ohne Inanspruchnahme öffentlicher Mittel gesichert sein. Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt.
Es liegt auch kein Ausnahmefall vor, der ein Abweichen von der Regelerteilungsvoraussetzung des § 5 Abs. 1 Nr. 1 AufenthG bewirken würde. Die gesundheitliche Situation der Antragstellerin vermag einen atypischen Einzelfall nicht zu begründen.
§ 5 Abs. 1 Nr. 1 AufenthG beinhaltet mit der Lebensunterhaltssicherung die wichtigste Voraussetzung bei der Erteilung der Aufenthaltserlaubnis; die Regelung dient dem Zweck, die öffentlichen Haushalte davor zu bewahren, den Lebensunterhalt hier aufhältlicher Ausländer mit öffentlichen Mitteln sichern zu müssen (OVG Berlin, Beschluss vom 3.3.2005, a.a.O.; ebenso VG Frankfurt, Urteil vom 30.11.2005, a.a.O.). Die Aufenthaltserlaubnis kann trotz Sozialhilfebedürftigkeit nur ausnahmsweise erteilt bzw. verlängert werden, wenn besondere Umstände des Einzelfalles dies rechtfertigen. Dies ist etwa dann der Fall, wenn der Versagung der Aufenthaltserlaubnis höherrangiges Recht entgegensteht, insbesondere die Versagung mit verfassungsrechtlichen Wertentscheidungen nicht vereinbar ist. Als Ausnahmefall kann daher unter dem Blickwinkel von Art. 6 GG das Vorhandensein kleiner oder pflegebedürftiger Kinder als Ursache für die Sozialhilfebedürftigkeit in Betracht kommen. Ob eine Krankheit des Ausländers ausnahmsweise das Abweichen vom Regelfall rechtfertigt, hängt von den Umständen des Einzelfalles ab. Kann ein Ausländer wegen seines Alters oder dauerhafter Erkrankung keine den Lebensunterhalt sichernde Beschäftigung finden, rechtfertigt dies als solches nicht die Annahme eines Ausnahmefalles. Es entspricht vielmehr der Regel, die Aufenthaltserlaubnis abzulehnen, um die Inanspruchnahme öffentlicher Mittel zu verhindern (zum Vorstehenden OVG Berlin, Beschluss vom 3.3.2005, a.a.O.; VG Berlin, Urteil vom 1.6.2006 - 2 V 5.06 -, Juris; vgl. auch VG Osnabrück, Urteil vom 31.5.2006, a.a.O.). Auch bei erheblicher Einschränkung der Erwerbsfähigkeit ist danach kein Ausnahmefall anzunehmen (OVG Berlin, Beschluss vom 3.3.2005, a.a.O.).
(bb) Die gegenwärtige gesundheitliche Situation der Antragstellerin mit eingeschränkter Erwerbsfähigkeit und vorübergehender Arbeitsunfähigkeit entspricht damit derjenigen, bei der die zitierte Rechtsprechung ein Abweichen vom Regelfall verneint. Dies gilt im vorliegenden Fall umso mehr, als die Antragstellerin sich entgegenhalten lassen muss, während des ihr zur Verfügung gestellten Aufenthaltszeitraums von einem Jahr, zwischen dem 24.5.2005 und dem 23.5.2006, keine Versuche unternommen zu haben, ihren Lebensunterhalt eigenständig zu sichern.